在数列的教学中渗透常见的数学思想方法
成都市铁路中学校 谭浩
【摘要】 数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。中国科学院院士数学家姜伯驹教授自1997年以来的多次讲话中，反复强调应该在教材和教学过程中注入思想方法。国内著名的数学教育家，华东师范大学张奠宙教授指出“每一门数学学科都有其特有的数学思想，赖以进行研究（或学习）的导向，以便掌握其精神实质。只有把数学思想方法掌握了，计算才能发生作用，形成演绎体系才有灵魂。”因此，在数学教学中，必须重视数学思想方法的教学。
【关键词】 数列 、数学思想方法、思维
数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切的联系。所以学生在学习数列时觉得困难比较大。在数列教学过程中，除了基础知识点的讲解外，更应该时时刻刻渗透一些重要的数学思想与方法。只有注意在教学过程中渗透了数学思想与方法，才能真正做到“授之以渔”，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。
在数列教学中常常出现的数学思想方法有：方程与方程组的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数的思想、数形结合的思想、特殊化的思想与方法、多元向单元转化的思想以及归纳，猜想的数学思想和方法。
一、方程与方程组的思想
已知数列满足某些条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组，然后求解。不少的例、习题均属这种模式，是一种比较常见的思想方法
例1 在等差数列中，已知，求首项和公差d.
解：由题意可知：， ①
， ②
由②-①，得7d=21,即d=3,代入①式得：
故数列的首项，公差d=3。
二、分类讨论的思想
分类讨论的思想，就是在解决问题时，根据解题需要对问题进行科学的，合理的分类，然后逐类进行讨论，从而使问题得到圆满解决。
例2 在等差数列｛｝中，，求数列的前n项和。
解：由已知得等差数列的公差
∴,数列的前n项和
当时，；当时，n>21
令
当时，
当时，
综上所述，数列的前n项和
此题是对绝对值里的式子的正负进行分类讨论。在讨论时应该做到不重不漏。在数列这节分类讨论的情况比较多，又比如在用等比数列求和公式时往往需要讨论公比q与1的关系；在数列中已知求的题型中对和两种情况的分类讨论。
三、化归的数学思想
化归方法是指把将要解决的问题化为已知的或已经解决的问题的一种数学思想方法。用化归方法解决问题要弄清三个要素：第一，明确化归对象；第二，明确化归目标；第三，寻求化归途径。
在数列中我们往往可以把一些特殊的数列通过构造化归为等差数列或者等比数列，借助于等差或等比的性质求解。比如：
例3 在数列｛｝中，若,,求数列｛｝的通项公式。
解：令，与已知比较知
∴
即数列是首项为，公比为2的等比数列。
∴
∴
小结：对于某个数列，给出首项，同时满足形如的线性表达式时，则可以设出常数λ，转化为求等比数列的通项公式后，再进一步求出｛｝的通项公式。
四、函数的思想
数列是一种特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决问题。比如等差数列的通项公式可以看成一次函数形式，前n项和可以看成n的二次函数缺少常数项的形式，等比数列可看作是指数型函数；又比如在求数列的最值问题时，常转化为函数求最值，只是在利用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是这一约束条件。
例4 已知数列｛｝的通项公式是，求数列｛｝的最大项。
解：由已知得
又∵
∴n=7时有最大值即
故数列｛｝的最大项为。
五、数形结合的思想
数形结合的方法就是在研究数学问题时，由数思形，见形思数，数形结合考虑问题的一种思想方法。在等差和等比数列的某些问题中，可以利用等差和等比数列通项公式的特征考虑数形结合的方法
例5 已知数列｛｝是等差数列，数列｛｝是等比数列，其公比 且。若，则（ ）
a b c d或
分析：本题主要考察等差数列，等比数列的定义和性质，再考察了基本不等式的应用。但在开始学数列时学生还没有掌握均值不等式的情况下，难度就大了。这时若借助于图形求解就比较容易得出正确答案。
解：如图，在同一坐标系中，分别作出数列和对应函数的图像，由图可知。故选b
这里还需借助于图像向学生指出此时等差和等比数列的单调性必须相同，才能保证有，否则就没有两个交点。同为减函数时的图像得到的结论是一样的。此外还需指出数列的图像是孤立的点构成的，不具备连续性。
六、特殊值的思想方法
所谓特殊值是指在研究问题时，从对象的一个给定集合出发，进行考虑某个包含于该集合的较小集合的思想方法。在数列的选择题中，若运算量大，一时找不到解决方法时，我们可以用特殊值法快速的找到正确的答案。例如
例6 如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作出新三角形的内切圆。如此下去，则前n个内切圆的面积和为（ ）
a b
c d
此题考察等比数列的通项公式和等比数列的求和公式，第一个圆的面积为，此时利用的关系，令n=1,带入四个选项中，就可以快速的选出正确答案为b
再例如数列前n项的和（ ）
a b c d
本题主要考察错位相减求和，但对大多数学生来说，错位相减求和是一个难点，况且在选择题中用此方法会耗掉很多宝贵的时间，这时仍然采用特值法，利用，很快就会选出正确答案a
七、多元向单元转化的思想
数学解题中常用的转化思想有无理式转化为有理式，分式转化为整式，高次向低次转化，多元向单元转化的思想。在数列中，特别是由递推公式来证明一个数列是等差或等比时，借助于定义，往往就会用到多元向单元转化的数学思想方法。例如：
已知数列满足，令，求证：数列是等差数列。
证明：时，
∴数列是等差数列。
学生在做此题时，往往会借助于已知的递推关系把转化为，同时还会把转化为，这样一转化后，原来的两个变量和还是转化成了两个变量和，就不容易得出差是常数。这时强调多元向单元转化的思想，把和两个未知量转化到一个未知量上，化简就迎刃而解了。
八、归纳、猜想的思想方法
数学问题的提出和解决是推动数学发展的重要力量。归纳与猜想是解决问题的一个重要思想方法，在数列教学中，加强猜想能力培养对于提高学生的思维能力和创造能力有重要意义。
例如：
（04. 上海春季高考）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有_________个点.
解：第n个图有n个分支，每个分支上有（n-1）个点（不含中心点），再加上一个中心点，则有n(n-1) 1=个点
此外，在等差数列和等比数列的学习中，我们常常还会用到类比的思想方法，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项。具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等。用此思想方法便于弄清等差与等比的联系和区别。
参考文献：中央广播电视大学出版社出版《数学思想方法》顾泠沅主编
北京大学出版社出版《数学的思想、方法和应用》张顺燕编著
来源：成都市铁路中学 编辑：孟秀华