全国卷高考导数大题归类探究提纲
成都铁中 石涓
【摘要】本文尽力给出了高三数学导数大题复习脉络和重要的思想方法，但在本文中并没有详细具体解法，特别是最后两个关于极值点偏移和不等式证明的，属于难题部分。而这里是想为大家梳理出导数大题的一个复习总纲领，让我们有的放矢，根据学生学习水平和情况，老师酌情讲授的一个主旨。让我们即把高中数学要传递给同学们的数学思想，数学方法教给他们，让老师和同学们根据自己的学习情况在有限的时间里抓大放小，提高得分效率。
【关键词】导数 高考
一、全国卷高考导数题第一问：
一般来说，第一问虽然会有很多的花样，但要明白他们首先考察的是大家求导数的能力。
注意：导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。
题型一：切线问题
切线问题是导数必须掌握的内容，对考生来讲，导数题第一问求与切线方程有关问题也是最简单的，最近三年都没有出现在大题里。在2015年出现了的切线题，但稍微难了一点。
题型二：直接讨论函数单调性
按正常来讲，不含参数讨论函数单调性应该是比较简单，但是如下的五道题并非绝对的送分题。2018年的两道导数题以及2013年导数题均需要二次求导，且2018年两道题需要求最值。2016年导数题及2010年导数题需要因式分解，而2016年导数题需要求最值，且这样的问法，会让很多考生不容易看出是求最值；所以，不含参数的导数题还是比较难的，训练时需要夯实基础，对导数解答题的一条线（①原函数，②导函数（直接看不出来则二阶导）③单调区间④求极值最值）了如指掌。
题型三：讨论含有参数函数的单调性
含参讨论是一个热门话题，考查同学们的分类分析能力，也是对他们严谨性的一个训练。下面几道题都与lnx、有关，与结合的函数出现的更多一些。
①2018全国ⅰ卷导数题，与lnx相关，解题时首先考虑定义域，而且求导通分后，分子为二次函数，讨论的形式相对多一些，难一些；
②2017全国ⅰ卷导数题，要求学生要会因式分解，然后再讨论参数，之后的讨论与2012年题型相似；
③2015全国ⅱ卷导数题，需合并同类项，由于是证明题，结合区间讨论参数，还可以进行二次求导发现f'(x)为增函数，然后再讨论，更容易处理；
通过以上分析，我们发现含参数讨论问题更多是与及结合，有分子二次函数型（参考定义域），因式分解型，二次求导型。分类时，一般考虑参数正、负、零，以及和区间范围相结合。
希望这样的分析能对高三复习有所帮助，搞定导数第一问就不要漏掉这几种题型。
题型四：含参数讨论单调性求极值最值
本题型在是在题型三基础上又进一求极值最值，难度又进一步加大。对学生的分类讨论，理解分析能力要求比较高。2017年的两道导数题，如出一辙，同一个模板，对于中等生来讲并不简单，且2卷难度稍微大一点点。2016年导数难度也是比较大，尤其在问法上又不是特别明确，所以，在复习备考时我们应该对含参数讨论求极值最值这样的知识点练习到位，争取在导数的第一问上拿到满分步骤如下：
首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。
往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。
这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。
极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。
最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。
。
注意：
①要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。
②分类要准，不要慌张。
③求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下场。
导数题第一问备考建议
①切线方程相关问题；
②结合定义域直接（及含参数）求单调区间；
③求极值最值；
④求二阶导意识（尤其是带有e^x的函数）；
⑤加强因式分解，合并同类项能力。
千万不要认为对于导数题，很多孩子都可以得满分。仔细分析，并非易事。我们要从学生的角度思考问题，培养孩子做导数题“一条线”能力，这样才能真正把导数大题的第一个小分拿满。
二、全国卷高考导数题第二问：
题型一：恒成立或在一定条件下成立时求参数范围
这类问题一般都设置在导数题的第二问，，属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解，而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题，属于扣分题，但掌握好了方法，也可以百发百中。方法如下：
做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心有三类方法：
第一类是：分离变量。
一定要将所求的参数分离出来，否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的题目诚然可以做，但到了真正的难题，分离变量的优势立刻体现，它可以规避掉一些极为繁琐的讨论，只用一些简单的代数变形可以搞定，而不分离变量就要面临着极为麻烦的讨论，不仅浪费时间，而且还容易出差错。所以面对这样的问题，分离变量是首选之法。当然有的题确实不能分离变量，那么这时就需要我们的观察能力，如果还是没有简便方法，那么才会进入到讨论阶段。
分离变量后，就要开始求分离后函数的最大或者最小值，那么这里就要重新构建一个函数，接下来的步骤就和（2）中基本相同了。
注意：
①分离时要注意不等式的方向，必要的时候还是要讨论。
②要看清是求分离后函数的最大值还是最小值，否则容易搞错。
③分类要结合条件看，不能抛开大前提自己胡搞一套。
最后，这类题还需要一定的不等式知识，比如均值不等式，一些高等数学的不等数等等。这就需要我们有足够的知识储备，这样做起这样的题才能更有效率。
第二类是：式子移项做差，构造成新函数对新函数进行分析。
这类题目题型看似复杂，但其实就是在上述问题之上多了一个步骤，就是将上述的函数转化为了另一个函数，并没有本质的区别，所以这里不再赘述。
第三类是：移项变形，构成等号左右两边分别是两个比较简单，我们能得出图形及其性质的函数。
通过分别研究这两个函数式，得其图像，研究它们相切、相交的状态，从而得出参数范围。以下六大模型是值得同学们记住，并善于运用的六个整理目标模型。
记住这六个模型，对同学们处理变形式子一定有很大帮助，对切线和导数的放缩以及极值点偏移也会有裨益良多。
题型二：零点问题，得不到零点时处理方法
1、已知函数， （）.
（1）若， 恒成立，求实数的取值范围；
（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.
2、已知函数.
（i）若处取得极值，求实数a的值；
（ii）在（i）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。
这两道是零点比较容易得到的情形，而如果零点不可得，我们通常会采用下面的题3的方法：
.3．设函数f（x）=lnx ax2 x 1．
（i）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；
（ⅱ）当a=0时，证明xex≥f（x）在（0，∞）上恒成立．
【思路引导】
（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数f（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明f（x）≥=0即可．
（ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx x 1
令f（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），
则f′（x）= •（xex﹣1），
令g（x）=xex﹣1
则g′（x）=（x 1）ex＞0，（x＞0），
∴函数g（x）在（0，∞）递增，
又g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣1＞0，
∴存在唯一c∈（0，1）使得g（c）=0，
且f（x）在（0，c）上单调递减，在（c，∞）上单调递增，
故f（x）≥f（c）=c•ec﹣lnc﹣c﹣1，
由g（c）=0，得c•ec﹣1=0，得lnc c=0，
∴f（c）=0，
∴f（x）≥f（c）=0，
从而证得xex≥f（x）．
点评：在本题（ⅱ）的解答中，为了求f（x）的 最小值，通过求导得到f′（x）= •（xex﹣1），不容易判断f（x）的单调性，故构造g（x）=xex﹣1，采用二次求导的方法，在求g（x）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用g（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数f（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法．
题型三：极值点偏移
这是最近几年比较流行的（2）问题，也是我们必须掌握的一种方法，具体办法不再在这里叙述，只给出一道题，供大家熟悉。
，在定义域内有两个不同的极值点
（i）求的取值范围；
（ii）求证：
题型四：证明不等式
不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明．
已知函数与．
（1）若曲线与直线恰好相切于点，求实数的值；
（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：
【思路引导】
（1）根据导数几何意义得,即得实数的值；（2）利用分参法将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题（x>1）最大值,再利用导数研究函数单调性：单调递减，最后根据洛必达法则求最大值，即得实数的取值范围(3)先根据和的关系转化为对应项的关系：，再利用；（2）的结论，令，则代入放缩得证
总结：利用导数解决不等式恒成立问题的策略：
1、构造差函数．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式．
2、根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数．
3、（ⅰ）利用常见结论，如：，，等；
（ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论．
法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位。以上给出了高三数学导数大题复习脉络和重要的思想方法，但在本文中并没有详细具体解法，特别是最后两个关于极值点偏移和不等式证明的，属于难题部分，希望我在今后的研究中继续再探讨他们的具体方法。而这里是想为大家梳理出导数大题的一个复习总纲领，让我们有的放矢，根据学生学习水平和情况，老师酌情讲授的一个主旨。让我们即把高中数学要传递给同学们的数学思想，数学方法教给他们，也在有限的时间里抓大放小，提高得分效率。
来源：成都市铁路中学 编辑：mxh