浅谈线性规划教学中的意境创设
成都市铁路中学校 王琳 朱晨
摘要：著名数学教育家波利亚说过“问题是数学的心脏”，而数学在生活、科学、工程等领域的应用正是在具体情境中解决数学问题。因此，数学课堂教学需要情境的支撑。人教版教材必修五的《线性规划》这一内容，既突出了数学学科是自然科学、技术科学等学科的基础，并在经济、社会、人文科学的发展中彰显出越来越大的实用价值，又为课程的创设及开发构建了一个实用平台。本文结合《线性规划》的实际教学需求，面向生活，结合实际，创设了一组情境例题，以求拓展学生的视野，增强学生的数学素养、信息素养和创新素养。
关键词：线性规划 问题情境 数学应用
课堂教学中，问题意境的创设可以在不同的时刻。可以安排在课题引入的地方，以引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲；亦可以安排在课程讲授中，开拓学生的思维，活跃课堂氛围；还可以在收尾之时，让学生继续思考，对课题有一种意犹未尽的感觉，激发学生继续学习的热情。问题意境的设置，方式也可以多种多样，可以源于现实生活，可以源于时事政治，还可以源于悬念、趣味等。
一、创设现实意境
新课程改革的理念中，更强调学生能力的发展，作为数学老师，我们不仅要传授数学知识，更要让学生在学习中体会数学的应用，我们期望学生可以达到“课本中学数学，生活中用数学”的能力。教师如果能够在例题的选材上注重与实际生活的联系，会让学生感觉特别亲切，特别有兴趣，而且也会更加易于理解和接受。这学期，高一年级各个班级开始实行“走班”教学，各科老师开设了形式多样的选修课，深受广大学生的喜爱。选修课实行网上学生自主选课，每周固定时间走班上课，最后教师给出学分认定。因此，我们以“选修课”为素材，编了如下例题。
案例1：学校有线网络同时提供a、b两套校本选修课程。a套选修课播40分钟，课后研讨20分钟，可获得学分5分；b套选修课播32分钟，课后研讨40分钟，可获学分4分。全学期20周，网络每周开播两次，每次均为独立内容。学校规定学生每学期收看选修课不超过1400分钟，研讨时间不得少于1000分钟。两套选修课怎样合理选择，才能获得最好学分成绩？
分析：线性规划问题应根据实际情况作具体分析，注意求整性、可解性和选择性。
解：设选择a、b两套课程分别为x、y次，z为学分，且
作出可行域:
由方程组解得点a(15,25),b(25,12.5)
因为目标函数的斜率与直线ab的斜率相等，因此目标函数的最优解为线段ab上的整数点，即a（15，25）、c（19，20）、d（23，15）均符合题意，且使得学分最高为175分。但学生可根据自己的经验和要求选择一个最佳的点。例如，学生需要最省时就可以选择点a(15，25)。
这道例题极大的引起了学生的共鸣，他们议论纷纷，极大调动了学习的积极性和课堂的参与度。这个选修课素材的选题贴近学生的学习生活，使学生感受到了数学无处不在，并借此引伸线性规划数学理论的重要学术地位和实用价值。另外本题也涉及了线性规划问题中的两个重难点：一是最优解的不唯一性，最优解可以是多边形的一条边，并不一定是多边形的顶点。二是整数解的求解。求整数解在线性规划中是一个难点，教材中画网格线的图解法是一种直观有效的方法。教师通过展示求整性、可解性和根据实际情况的选择性等相关知识，构建线性规划知识的完整框架，达到了较好的教学成果。
二、创设时事政治意境
在高考中，线性规划部分属于中档题，常与不等式、根的分布、圆、几何概型等知识点综合考察学生处理问题的能力。我们在高二几何概型的教学中，课本有一道例题，题意是如何安排上班时间，从而不错过早晨小区里送报纸的时间，并求其发生的概率。咋一看，是个概率题，学生却无从下手。学生的困难是从题意中提炼不出数学关系式，也就是线性约束条件整理不出来。仿照课本例题，我们有如下一道例题，将线性规划与几何概型巧妙的结合起来，同时又创设在时事政治的意境上。
案例2：海湾战争中，美军两支部队从不同驻地到某攻击点会师，实行合围，其运动时间可能需要5至6小时。伊军一旦发现情况后只需20分钟集结就会遁逸。全歼伊军胜算的概率有多少？
分析：只有合围后伊军才无法遁逸而被全歼，实际上是求两支部队会师的概率，本题利用线性规划的解题方法，画出可行域，利用几何概型给出解答。
解：以x、y分别表示两支部队到达攻击点的时刻，则两支部队能在伊军逃走前会师的充要条件为，
作出可行域：
在直角坐标系中画出x、y的可行域，如图阴影部分所示，显然两支部队可能在伊军逃走前会师的时间为图中边长等于60的正方形内的点（包括边界），两支部队能在伊军逃走前会师的机会为图中阴影部分，从而可得到所求的概率为
本题以时事为背景，创设意境。旨在让学生感受到线性规划的应用不仅渗透到社会活动的各个层面，也包括军事、战争。它能给决策者提供科学选择依据，在战争中减少伤亡和降低消耗，提高胜算的概率。美国军方在海湾战争期间，就曾利用线性规划，有效地解决了部队给养和调运问题，对促进战争的胜利起了关键的作用，因此，有人称“海湾战争”是“数学的战争”。反之，线性规划的普遍应用也极大地丰富了数学背景素材，为教师教学提供了一个贴切生活的广阔创意平台。
三、创设趣味意境
兴趣是最好的老师，兴趣是学习的源泉。教育家乌辛斯基说过“没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学习探求真理的欲望”。为克服数学课堂知识的枯燥，教师在课堂上创设一些新颖别致的趣味问题，使学生产生浓厚的兴趣，思维就会高度集中，学习的动力也会变强。因此，根据这一特点，教师设计一些有趣的问题情境，让学生在玩中学，在乐中思，往往可以收到事半功倍的教学效果。请看如下例题：
案例3：居民点a与仓库b相距1千米，位于河岸同一侧。河岸是直线段，与a距离0.5千米，与b距离1.1千米。一天恰逢自来水管检修，仓库着火，a地居民迅速提水桶到河边取水去b处救火。一般情况下人奔跑速度约10千米/小时，提水负重时奔跑为徒手时速的三分之二。请给出救火的最佳途径。
分析：本题是一道解析几何应用题，常规问题是求距离之和的最小值，极易形成思维定势。而本题所求的是取水时间最少的路线，而不是最短的路线，这正是本题的妙处所在。取水有首次a和其后的b两个出发点，因而有两条取水最快的路线（见图）。关键是确定首次取水的地点p的位置，其后的取水路线是垂线段 。
解：设p为ob’上的任一点，ap=x，bp=y ，由图1，则有：
速度千米/小时 ， 千米/小时
设目标函数时间 ， 根据题意计算得到约束条件：
在这些线性约束条件下，变量x，y还满足函数：。当目标函数t与函数y(x)的图像在可行域内相切时，即将t代入后令△=0；或求y的导函数，令导函数等于目标函数的斜率，可得 切点（0.61，1.19）使得t取得最小值，最小值为0.24小时。即当时，由此可以得出最佳取水地点为。
本题是一道非纯线性规划题，题设中的两个变量除了满足线性函数外，还满足一个二元方程，是一道融线性规划和解析几何为一体的综合题。通过对本问题的分析，以提高学生分析、研究和借助现代数学教学工具解决实际问题的意识和能力。这是一道结构非常新颖的研究性题型，通过初始条件变换，能产生不同的意境效果。例如，（1）在河岸边取点，修建a、b共用的货运码头；(2)在岸边选点建自来水厂， 铺设到a、b的供水管道。还可以提出不同的设问和条件，如a，b两处是否可以共用水管等，创设多种质疑的触点和思维引申的空间，充分调动学生积极思考问题、提出问题、研究问题、解决问题的学习能动性，教学过程因此而变得生动和丰富多彩。
教学的艺术不在于传授本领而在于激励、唤醒、鼓舞。创设教学意境，正是激励、唤醒、鼓舞的一种艺术。教学中适宜的创设一些情景，结合教材实际，设计一些符合学生心理特点和认知规律的情景，才能更好的激发学生的学习兴趣。整体上数学的知识点较抽象、较枯燥。《线性规划》部分可以说是跟我们的实际生活联系最紧密的部分，也比较适合在教学中创设意境，好的意境题材应有以下特点：
有利于培养学生阅读能力。线性规划的应用题题干部分文字较多，而且在高考中常常以小题的形式出现，再长的题干，学生都要做到“处乱不惊”，那么平时的教学中我们就要注重对学生阅读能力的培养，训练学生从大段的文字中提炼出数学关系式的能力。对题干中涉及到的数据，能够正确使用，真正做到不重不漏。
有利于培养学生数学建模的能力。数学建模是进行科学研究必备的数学能力，建模也是线性规划教学的重点和难点。建立恰当的数学模型，需要善于提取问题的数学内核，并与相应的数学理论关联。同时也为学生今后进入大学，高数的学习打下坚实的基础。一个好的问题意境的创立为数学建模提供了典型的思维范例。
有利于先进性思想教育。线性规划问题普遍存在于我们的周围和日常生活之中，创设好的问题意境，引领学生对生活、生产中问题的关注，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。在这样的教学过程中还包含了合作学习、自主学习和探究性学习的诸多方面，潜移默化的对学生进行合作、探究性教育，培养学生热爱生活、团队合作、关心社会、服务社会的良好品质。
上述案例说明，只有涵盖面广、立意新颖、独特视角、解析清新的数学问题才是知识传播、智慧启迪、思想教育的重要载体。因此，教师在设计教学时应寻找知识的源头，广泛搜集素材，创设匠心独到的例题，才能更好的激发学生的学习兴趣，使学生的学习变“被动”为“主动”，变“要我学”为“我要学”，变“学会”为“会学”，使得学生真正成为课堂的主人，真正提高数学课堂教学的有效性。
来源：成都市铁路中学—王琳 朱晨 编辑：mxh